Esta información va a resolver la duda expresada por PDM, en el post de Resuelvo problemas de matemáticas sobre factorización.

Él [o ella, no se bien] me entrega cuatro factorizaciones que no entiende, para que todo quede más claro  primero partiremos definiendo que es Factorización.... como su nombre lo dice : Factorización, es escribir un termino en factores.

Si lo vemos en números por ejemplo, factorizar 14 significa escribirlo como un producto (factores) 2 x 7.
Factorizar 48 puede ser 2 x 24; 3 x 16; 6 X 8; 12 x 4; 2 x 3 x 8; 2 x 2 x 2 x 2 x 3 etc. la más conocida entre los números es la factorización prima, consiste en escribir un número como el producto de uno o más factores primos (uno en el caso de que el número sea primo)

Ejemplo:
La factorización prima de  48  es 24 x 3. La factorización prima de 210 es 2 x 3 x 5 x 7 etc.

Otra factorización muy usada es la factorización de expresiones algebraicas, caso específico al que se refiere nuestr@ amig@ PDM, en este caso dependerá de la expresión. Hay varios tipos, veremos los principales.

1. Factor Común simple
Esto refiere a una expresión con 2 o más términos donde existe un factor numérico o literal común en todos ellos. En el caso de los números será el MCD (máximo común divisor) y en el caso de las letras, las que se repitan en todos con el menor exponente.

Ejemplo:
3b2c3 - 5b4c2 + bc aquí el factor común no es numérico pues 3, 5 y 1 no tienen divisores comunes, las letras que se repiten son b y c y el menor exponente de cada una es 1. Así tomamos este como factor común

3b2c3 - 5b4c2 + bc = ab (3bc2 - 5b3c + 1)

2. Factor común compuesto
Este refiere a expresiones con mínimo 4 elementos, donde  se pueden agrupar para sacar factor común simple, y luego tomar una expresión como factor común.

Ejemplo:
3b2c3 + 4ab2c - 6c2 -  8ac  en este caso podemos agrupar como sigue [3b2c3 - 6c2 ] + [4ab2c - 8a] en el primer paréntesis tenemos como factor común numérico el 3, y literal a c2 . En el segundo paréntesis tenemos como factor común numérico al 4 y literal a a. Así que si factorizamos obtenemos

[3c2 (b2c - 2)] + [4a (b2c - 2)] Aqui, tenemos como factor común a (b2c - 2) así3b2c3 + 4ab2c - 6c2 -  8ac   =  (b2c - 2) (3c2 + 4a)

3. Productos Notables 
Los productos notables siguen la regla de una generalidad algebraica estos son algunos
a2 - b2 = (a + b)(a - b) [diferencia de cuadrados]
a2 +  2ab + b2 = (a + b)2 [trinomio cuadrático perfecto]
a2 + ab + c = (a + x)(a+ y) donde x+y = b ٨ xy = c [trinomio cuadrático ordenado]
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) [suma de cubos]
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) [diferencia de cubos]
Hay muchas más pero todas son deducibles.

Veamos ahora los ejercicios propuestos y resueltos por PDM

a) 16x^3 y^2 - 8x^2 y -24x^4 y^2  y el resultado es: 8x^2 y (2xy -1 - 3x^2 y)
Traduciendo eso es :  16x3y2 - 8x2y - 24x4y2  como son 3 términos nuestra primera alternativa es el factor común simple, asi que primero calcularemos el maximo comun divisor entre 16, 8 y 24, esto es 8 (proceso indicado en la imagen.

Luego los factores literales comunes son x, y, con el menor exponente de cada una esto es 2 y 1 respectivamente. entonces el factor común es 8x2y si factorizamos, debemos tomar cada termino de la expresión y dividir sus factores numéricos y en el caso de las letras restar los exponentes, asi

16x3y2 - 8x2y - 24x4y2 = 8x2y (2xy - 1 - 3x2y) lo que coincide con la respuesta.

b) (x+2) (x-1) - (x-1) (x-3) resultado: 5(x-1)
Este también es un caso de factor común, donde el factor que se repite en ambos términos es (x-1), así
[x-1] [x+2 - (x - 3)] = (x - 1) (x + 2 - x + 3) = (x - 1) (5) = 5(x - 1)

c) 6x^2 -7x -3 R: (x -3/2) (x+1/3)
Este es un caso de trinomio cuadrático ordenado 6x2 - 7x - 3 , pero la solución que nos ha dado PDM está mala... mmm ¿no me creen? se los demostraré, si esa fuese la solución correcta entonces al multiplicar (x - 3/2)( x + 1/3) debe resultarnos  6x2 - 7x - 3.

(x - 3/2)( x + 1/3)  = x2  + x/3 - 3x/2 - 1/2 =  x2  - 7x/6 - 1/2 que definitivamente no es 6x2 - 7x - 3.

Ese problema se resuelve amplificando por 6, de esta forma (6x)2 - 7(6x) - 18, luego buscamos dos números que sumados me den -7 y multiplicados me den -18, la respuesta es 2 y - 9 ( 2 + -9 = -7; 2 x -9 = -18)

entonces (6x)2 - 7(6x) - 18 = (6x + 2)(6x - 9) pero esa no es la factorización, pues como amplificamos por 6, debemos ahora simplificar entre 6. Lo haremos dividiendo un paréntesis por 2 y el otro por 3 (ya que 2 x 3 = 6)
(6x + 2)(6x - 9) : 6 = (3x + 1) (2x - 3) y esa si es la respuesta correcta.

d) x^3 + x^2 - x -1 R: (x-1) (x+1) (x+1)
En este caso es es un caso de factor común compuesto  x3 + x2 - x - 1, agrupamos en el siguiente orden [x3 - x] + [x2- 1] allí el primer factor comun es x, así [x (x2- 1)] + [x2- 1] donde tenemos a x2- 1 como factor común (x2- 1) (x + 1)  el primer termino es una diferencia de cuadrados que se factoriza como una suma por su diferencia esto es (x + 1) (x - 1) (x + 1) y si lo ordenamos obtenemos la solución dada por PMD.

Espero que hayas entendido el procedimiento de cada una, si no es así, pregúntame, aquí estoy
Cariños
[Jek's]