내 삶의 노래

Taty me dejó otros problemas de múltiplos y divisores

1) en un negocio cuentan con una cierta cantidad de chocolates que pueden empaquetar de cuatro en cuatro, de seis en seis y de doce en doce sin que sobre ninguno

a) con cuantos chocolates cuenta?

buscamos un número que sea múltiplo de 4, de 6 y de 12, ejemplo  12 chocolates, si los empaquetamos de 4 en 4 hay 3 paquetes. Si los empacamos de 6 en 6 son 2 paquetes y un pauqete de 12.

b) hay mas de una respuesta posible para la pregunta anterior ¿por que?

No. porque los múltiplos son infinitos, y los múltiplos comunes entre 2 o más números también son infinitos. En este caso otros múltiplos de 4,6 y 12 son 24,36,48,60,72,84,96,108,120... etc.

2) en un libro de matematicas se lee: "un numero es divisible por cuatro si las dos ultimas cifras forman un numero multiplo de cuatro"
completa con las cifras de los siguientes numeros para que el resultado sea multiplo de tres y cuatro a la vez

En este ejercicio nos faltan las cifras que debemos cambiar, pero te daré un ejemplo de como se hace

Ej: 24343
Para que un número sea divisible por 3 sus cifras deben sumar un múltiplo de 3
sumemos : 2+4+3+4+3 = 16 el 15 es múltiplo de 3 por lo que si le restamos 1 a cualquiera de las cifras obtendremos un número divisible por 3

1+4+3+4+3 = 15
2+3+3+4+3 = 15
2+4+2+4+3 = 15
2+4+3+3+3 = 15
etc.

entonces solo elijo uno de esos por ejemplo el 14343 que es divisible por 3.

Para que sea divisible por 4 las dos últimas cifras deben ser un múltiplo de 4
24343 termina en 43 sabemos que 44 es múltiplo de 4 asi que hay que sumarle uno a la cifra de la unidad

24344 es divisible por 4.

Cariños
[Jek's]

Tatiana me dejó una consulta

hola me podrias explicar multiplos y divisores?¿que diferencia hay entre ellos?
en un ejercicio me pide todos los divisores posibles de
120, 49, 32
yo hice lo siguiente pero me parece que me faltan
120: 1,2,8,10,12,15,60,120
49: 1, 7, 49
32: 1,2,4,8,16
me podes decir cuales falta

piensa 5 numeros que sean multiplos de 2 y de tres a la vez:
yo puse 6,12,18,36,42 esta bien?
busca 5 numeros divisibles pors 2, 5 y 10 a la vez
yo puse: 10.20.30.40.50 esta bien?

Primero que nada definamos cada una

Múltiplo de un número es aquel que se forma al multiplicar ese número por algún número natural
Ej. Múltiplos de 5, 5x1 =5, 5x2=10, 5x6=30 etc. esto quiere decir que 5,10 y 30 son múltiplos de 5.

Divisores de un número son aquellos que pueden dividir al número dando resto cero, es decir que multiplicados por un número natural resulte el número
Ej. 30; 2x15=30, 10 x3 =30, 5x6 = 30etc. esto quiere decir que 2,15,10,3,5 y 6 son divisores de 30.

Ok vamos desde el principio hay mucha diferencia entre múltiplos y divisores, una de ellas es que el múltiplo es igual o más grande que el número y el divisor es igual o más pequeño.

Ej.  si 10 es nuestro número algunos múltiplos de 10 son 10,20,30,40,100,200 etc. y algunos divisores de 10 son 1,2,5 etc.

Otr diferencia es que los múltiplos de un número son infinitos, en cambio el número de divisores es contable.

Ej. continuando con el 10, los múltiplos de 10 son en orden 10,20,30,40, 50,60,70,80,90,100,110,120... hasta el infinito. y los divisores de 10 solo son 1,2,5 y 10.

entonces los divisores de 120 son
1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60 y 120
los divisores de 49 son
1,7 y 49
los divisores de 32 son
1,2,4,8,16 y 32 

piensa 5 numeros que sean multiplos de 2 y de tres a la vez:
yo puse 6,12,18,36,42 es correcto
busca 5 numeros divisibles pors 2, 5 y 10 a la vez
yo puse: 10.20.30.40.50 es correcto

Cariños
[Jek's]

Yeinson me ha enviado un nuevo problema

Halle las rectas tangentes a la curva y= 2x^3 - 3x + 3 en los puntos donde la pendiente es m=3"

Esta parte es muy fácil solo debes obtener los puntos donde pasan las tangentes pues ya tienes la pendiente de esta.

Si derivamos la curva obtenemos m* digase la pendiente en cualquier punto, entonces y' = m*

entonces m* = 6x^2-3

Como sabemos que m = 3 diremos que buscamos x, para que m*=m

6x^2-3 = 3
6x^2 = 6
x^2 = 1
x = -1   ó  x = 1

Veamoas entonces serían los puntos (-1, 4) y (1,2) pertenecientes a la curva. Esto nos da dos tangentes de pendiente m=3

y - 4 = 3(x + 1)
y =3x +7

y - 2 = 3 (x - 1)
y = 3x - 1

Tal cual lo predijo el mismo yeinson en su mensaje.

¿Cual es el menor valor que puede tener una pendiente de esta curva? y en qué lugar de la curva alcanza su pendiente de menor valor?"

En este caso debemos ver cuando m* es mínimo o máximo.
Sabemos que  6x^2-3 es una parábola de forma vertical hacia arriba asi que no tiene extremos mayores pero si uno menor, que es precisamente el vértice de la parábola

Recordemos que si la parabola es de la forma y= ax^2+bx+c el vértice tiene x=-b/a
en nuestro caso b=0 por lo que nuestra parábola tiene vértice en el punto (0,-3). Esto quiere decir que el menor valor de la pendiente es -3 y se obtiene en x=0, esto es en el punto (0,3) de la curva.

Cariños
[Jek's]

José me envió este ejercicio

resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando la regla de keamer y aplique el metodo de reducion...el ejercicio es de matriz...espero su respuestas gracias

Primero que nada vamos a hacer una diferencia, resolver un sistema de ecuaciones por kramer no es lo mismo que un ejercicio de matrices, existe un método de resolución a través de matrices, pero Kramer es por determinantes, algo muy parecido pero no igual.

Cariños
Jek's

Geancarlos me ha dejado dos problemitas, he aqui el primero

1)demostrar que el cuadrado del lado de un triangulo mas el cuadruplo del cuadrado de la mediana correspondiente es igual al doble de la suma de los cuadrado de los otros lados?

Yo siempre que hago una demostración, me gusta primero que nada hacer un dibujo, y establecer hipotesis (datos que nos da el enunciado), tesis (lo que debemos demostrar) y proceder con una demostración justificada.

En este caso:

Hipótesis:

Sea ABC un triángulo cualquiera
Sea AO la mediana correspondiente al lado AB
Sea g el ángulo ABC

Tésis

BC² + 4AO²  = 2(AB² + AC²)

Demostración

2) si (3,3) . (5,y) y ( -4,-6) son vertices consecutivos de un triangulo, calcular el valor de y

Esta es una aplicación del caso anterior, aplicaremos lo que acabamos de demostrar

Solo que aqui cambiamos un poco el orden BO es la mediana por lo que la formula anterior se traduce como

AC² + 4BO²  = 2(AB² + BC²)

Donde:

Ahora solo aplicamos el teorema anterior y resolvemos respecto a "y"

Como ambas respuestas son imaginarias, quiere decir que no existe un valor real que de respuesta a este problema.

Cariños
[Jek's]

Marianax me dejó dos problemas, el primero de ellos es:

Una hormiga se encuentra situada en el punto A de la parte inferior de un bote de galletas con forma cilíndrica. Se da cuenta que en el borde de la parte superior del bote hay un trozo pequeño de galleta y se dirige hacia el mismo en línea recta. Si el bote tiene una altura de 19 cm y su base tiene un diámetro de 15 cm, calcula la distancia que recorre la hormiga hasta llegar al trozo de galleta. (El trocito de galleta está en diagonal a donde está ella.)

Esta situación la explicaremos con un dibujo:

 Donde H es la posición de la Hormiga (el punto A), G es donde está la galleta C1 y C2 son los centros de las bases del cilindro, c1c2 = la altura del cilindro = 19 m, C1G=C2H= radio = 7.5 m. y O es la intersección de la altura y la distancia que buscamos entre HG

Hagamos una correspondencia entre el triangulo HC2O y el triángulo GC1O 
< Hc2O = <GC1O = 90°  (la altura es perpendicular a almbas bases)
HC2 = GC1  (por hipótesis)
<HOc2 = <GOc1  (opuestos por el vertice) implica que <C2HO = <C1GO (la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°)

Dado lo anterior por el teorema ALA de Congruencia de triángulos  HC2O y  GC1O son congruentes. Esto quiere decir que todos sus lados y angulos son iguales.

Entonces C2O = C1O = 19:2 = 9.5 m

Por el teorema de Pitagoras podemos deducir  HO = raiz (90.25 + 56.25) = raiz (146.5) ~ 12.104

Como los triángulos son congruentes HO = OG = 12,104 entonces  HO + OG = HG = 12.104 + 12.104 = 24.208

El segundo problema es:

Una apisonadora está trabajando en un tramo de carretera recién asfaltado de 300m de largo y 5m de ancho. Cada rueda de la apisonadora tiene un diametro de 1.5 m y una longitud de 2 m. Cual es el minimo numero de vueltas que daran las ruedas de la apisonadora para terminar de apisonar el asfalto?

Si la rueda tiene 1.5 m de diametro tiene un radio de 0.75 m.  eso quiere decir que en una vuelta recorre 2pi*0.75 = 4.71 mt

300 : 4.71 =63.69 ~ 64

Esto quiere decir que para recorrer 300 m debe dar 64 vueltas.
Como solo mide 2 metros de longitud para cubrir los 5 mt, deberá pasar mínimo 3 veces, los 300 mt. esto es 64*3 = 192 vueltas.

Cariños
[Jek's]

Anto me envió el siguiente problema

 Una cajero inicio el dia con 8 billetes de $100, 7 de $10, 53 de $20 y 208 de $5. a lo largo del dia pago$100 y depositaron $2348, usando billetes de 100 y 20 y monedas de $1 ¿cuanto dinero tendia al finalizar el dia? ¿cuantos billetes y monedas quedaron'

Tenemos para empezar Billetes de $100, $10, $20 y $5 y monedas de $1.

Al inicio del día tenía

8 billetes de $100 = $800
53 billetes de $20 = $1060
7 billetes de $10 = $70
208 billetes de $5 = $1040

Un total de = $2970

El deposito fue de $2348 en billetes de 100 y 20, y monedas de $1.

2438 : 100 = 24 y sobran  $38
38 : 20 = 1 y sobran $18

Esto quiere decir que una combinación posible es

24 billetes de $100 = $2400
1 billete de $20 = $20
18 monedas de $1 = $18

Total = $2438

Entonces al final del día tendrá 2970 + 2438 = $5408
en
8 + 24 billetes de 100 = 32 billetes de 100 = $3200
53 + 1 billetes de 20 = 54 billetes de 20 = $1080
7 billetes de $10 = $70
208 billetes de $5 = $1040
18 monedas de $1 = $18

Total = $5408

Cariños
[Jek's]

Yeinson me envió un problema de integrales.

Integral (cos (e^x)) y Integral (1/(ln x))

Ambas son integrales especiales, la primera es una forma de la integral Coseno, para poder obtener la forma típica haremos una sustitución de variables

Esto nos lleva a conocer la función "Integral coseno" definida como Ci(x) de la siguiente forma

Teniendo esto tenemos una solución a nuestra integral

En la segunda integral que nos dejó Yeinson, también debemos conocer una función llamada "Integral Logaritmica" definida como li(x)

y eso es todo
Cariños
[Jek's]